Hiểu rõ phép biến đổi tọa độ trong lĩnh vực robot

Để hiểu rõ về phép biến đổi tọa độ cánh tay robot, bạn có thể chia quá trình học thành 5 bước chính.

---

Các bước để hiểu về biến đổi tọa độ trong robot

1. Hiểu các khái niệm và mục tiêu cơ bản: Nắm được các thành phần của một cánh tay robot (đế, khớp, liên kết, bộ tác động cuối) và mục tiêu cuối cùng là xác định vị trí của bộ tác động cuối so với gốc.

2. Phân biệt các hệ quy chiếu (Hệ tọa độ): Hiểu rõ sự khác biệt và vai trò của Hệ tọa độ toàn cục (cố định ở đế robot) và Hệ tọa độ cục bộ (gắn liền và di chuyển cùng với bộ phận của robot).

3. Nắm vững hai phép biến đổi riêng lẻ:

   • Phép tịnh tiến: Chỉ sự thay đổi về vị trí.
   • Phép quay: Chỉ sự thay đổi về hướng (góc quay).

4. Kết hợp Tịnh tiến và Quay: Hiểu cách toán học kết hợp hai phép biến đổi trên để mô tả chuyển động phức tạp, tổng quát của một vật thể.

5. Tìm hiểu Ma trận biến đổi đồng nhất: Đây là công cụ toán học "tất cả trong một", giúp biểu diễn cả phép quay và tịnh tiến bằng một ma trận duy nhất, làm cho việc tính toán (đặc biệt với robot nhiều khớp nối) trở nên đơn giản và hiệu quả hơn rất nhiều.

---

Ví dụ cho Bước 1: Hiểu các khái niệm và mục tiêu cơ bản

Hãy bắt đầu với bước đầu tiên một cách đơn giản nhất.

Bối cảnh: Tưởng tượng bạn có một cánh tay robot đơn giản được gắn cố định trên bàn làm việc.

• Đế (Base): Là phần chân của robot được bắt vít chặt xuống mặt bàn. Đây là điểm gốc, bất động của chúng ta.
• Khớp (Joint): Cánh tay robot có một "vai" và một "khuỷu tay" có thể xoay được. Đây chính là các khớp.
• Liên kết (Link): Là các phần cứng rắn, thẳng nối giữa vai và khuỷu tay, và giữa khuỷu tay tới bàn tay robot.
• Bộ tác động cuối (End-effector): Là "bàn tay" của robot, ví dụ như một cái kẹp gắp.

Mục tiêu của chúng ta là gì? 🎯
Giả sử có một cây bút nằm trên bàn. Chúng ta muốn ra lệnh cho robot nhặt cây bút đó lên.

Vấn đề cần giải quyết:
Bạn không thể chỉ nói "robot ơi, nhặt cây bút lên". Bạn phải tính toán và ra lệnh cho robot một cách chính xác: "Hãy xoay khớp vai một góc X độ và xoay khớp khuỷu tay một góc Y độ".

Để tìm ra giá trị chính xác của X và Y, trước tiên bạn phải biết vị trí của cây bút so với đế robot (hệ tọa độ toàn cục), và từ đó tính toán ngược lại các góc quay cần thiết. Toàn bộ quá trình tính toán này chính là trọng tâm của phép biến đổi tọa độ trong robot.

Bằng cách bắt đầu với ví dụ trực quan này, bạn đã nắm được nền tảng cơ bản nhất trước khi đi sâu vào các công thức toán học ở các bước tiếp theo.

Chắc chắn rồi, chúng ta sẽ tiếp tục với ví dụ robot trên bàn làm việc để làm rõ Bước 2: Phân biệt các hệ quy chiếu (Hệ tọa độ).

---

Ví dụ cho Bước 2: Hệ tọa độ Toàn cục và Cục bộ

Trong ví dụ này, chúng ta có hai hệ tọa độ cực kỳ quan trọng:

1. Hệ tọa độ Toàn cục (Global Frame) 🌐

Đây là hệ tọa độ "chủ" của chúng ta, nó cố định và không bao giờ thay đổi.

• Gốc tọa độ (0,0): Hãy đặt nó ngay tại tâm của đế robot trên mặt bàn.
• Các trục tọa độ: Trục X chạy dọc theo chiều dài bàn, trục Y chạy dọc theo chiều rộng bàn.
• Vai trò: Hệ tọa độ này dùng để xác định vị trí của mọi thứ trong không gian làm việc. Ví dụ, chúng ta đo đạc và biết được vị trí chính xác của cây bút là tại tọa độ (30cm, 20cm) trong hệ tọa độ này. Vị trí này là cố định.

2. Hệ tọa độ Cục bộ (Local Frame) 🤖

Đây là hệ tọa độ "phụ", nó được gắn liền với một bộ phận của robot và sẽ di chuyển cùng bộ phận đó.

• Gốc tọa độ (0,0): Hãy tưởng tượng chúng ta vẽ một hệ tọa độ nhỏ ngay tại tâm của kẹp gắp (bộ tác động cuối).
• Các trục tọa độ: Trục x và y của hệ tọa độ nhỏ này sẽ quay theo kẹp gắp.
• Vai trò: Hệ tọa độ này mô tả "góc nhìn" của chính cái kẹp gắp. Khi cánh tay robot vươn ra và xoay, hệ tọa độ này cũng tịnh tiến và quay theo.

Tại sao cần cả hai?

Đây là mấu chốt của vấn đề:

• Robot "biết" mục tiêu (cây bút) đang ở tọa độ toàn cục (30, 20).
• Tuy nhiên, để điều khiển động cơ, robot chỉ có thể ra lệnh cho các khớp của chính nó, ví dụ: "xoay khớp vai 30 độ", "xoay khớp khuỷu tay 50 độ". Các hành động này diễn ra trong không gian của chính con robot.

Phép biến đổi tọa độ chính là cây cầu nối toán học giữa hai thế giới này. Nó giúp robot trả lời câu hỏi: "Làm thế nào để tôi thay đổi góc các khớp của mình, để Hệ tọa độ Cục bộ (trên kẹp gắp) di chuyển đến và trùng khớp hoàn toàn với tọa độ toàn cục (30, 20) của cây bút?".

Hiểu rõ sự tồn tại của hai hệ quy chiếu này là nền tảng để bạn tiếp tục tìm hiểu cách chúng ta thực hiện các phép tịnh tiến và quay ở bước tiếp theo.

Tất nhiên, chúng ta sẽ đi vào Bước 3: Nắm vững hai phép biến đổi riêng lẻ. Ở bước này, ta sẽ tách chuyển động phức tạp của robot thành hai hành động cơ bản: Tịnh tiến (di chuyển thẳng) và Quay (xoay tại chỗ).

---

3A: Phép Tịnh tiến (Translation) - Chỉ di chuyển vị trí ➡️

Phép tịnh tiến là sự di chuyển mà không làm thay đổi hướng.

Ví dụ: Quay lại với robot trên bàn. Giả sử kẹp gắp của robot đang hướng thẳng về phía trước. Bây giờ, bạn chỉ di chuyển toàn bộ đế robot từ gốc tọa độ (0, 0) đến một vị trí mới là (15cm, 10cm) trên mặt bàn.

• Vị trí ban đầu của kẹp gắp (trong hệ cục bộ của chính nó) là p = (5, 0), tức là nó vươn ra 5cm so với tâm của đế.
• Vector tịnh tiến (vector di chuyển đế robot) là D = (15, 10).
• Vị trí cuối cùng của kẹp gắp trong hệ tọa độ toàn cục (của cái bàn) được tính bằng phép cộng vector đơn giản:

$$P_{cuối} = D + p = (15, 10) + (5, 0) = (20, 10)$$

Vậy, vị trí mới của kẹp gắp trên bàn là (20cm, 10cm). Phép tịnh tiến chỉ đơn giản là một phép cộng.

---

3B: Phép Quay (Rotation) - Chỉ thay đổi hướng 🔄

Phép quay là sự thay đổi hướng mà không di chuyển vị trí của gốc.

Ví dụ: Bây giờ, hãy đặt đế robot trở lại gốc tọa độ toàn cục (0, 0). Cánh tay robot dài 20cm, ban đầu duỗi thẳng theo trục X. Vậy vị trí của kẹp gắp lúc này là P = (20, 0).

Bây giờ, robot giữ nguyên vị trí đế và chỉ xoay cánh tay một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ.

Toán học cho điều này sử dụng một "ma trận quay". Với góc quay là $\theta$, ma trận quay $R$ có dạng:

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

Trong trường hợp này, $\theta = 90°$, nên $\cos(90°) = 0$ và $\sin(90°) = 1$. Ma trận của chúng ta trở thành:

$$R(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Vị trí mới của kẹp gắp được tính bằng cách nhân ma trận quay với vị trí ban đầu:

$$P{mới} = R \times P{cũ} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0 \cdot 20) + (-1 \cdot 0) \ (1 \cdot 20) + (0 \cdot 0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 20 \end{bmatrix}$$

Vị trí mới của kẹp gắp trên bàn là (0, 20). Điều này hoàn toàn hợp lý: nó đã xoay từ trục X sang trục Y.

Bằng cách hiểu rõ hai phép toán riêng lẻ này, bạn đã sẵn sàng để kết hợp chúng lại ở bước tiếp theo để mô tả chuyển động thực tế của robot.

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ tiếp tục với Bước 4: Kết hợp Tịnh tiến và Quay - đây là bước quan trọng để hiểu chuyển động thực tế của robot.

---

Bước 4: Kết hợp Tịnh tiến và Quay 🔄➡️

Trong thực tế, robot hiếm khi chỉ thực hiện một phép biến đổi đơn lẻ. Thay vào đó, chúng ta cần kết hợp cả hai phép biến đổi để mô tả chuyển động phức tạp.

Ví dụ thực tế: Robot nhặt cây bút

Quay lại với robot trên bàn làm việc. Bây giờ chúng ta sẽ mô phỏng một tình huống thực tế:

Tình huống ban đầu:

• Đế robot ở gốc tọa độ (0, 0)
• Cánh tay robot dài 20cm, duỗi thẳng theo trục X
• Vị trí ban đầu của kẹp gắp: P₀ = (20, 0)
• Cây bút nằm ở vị trí: (25, 15) trên bàn

Nhiệm vụ: Robot cần di chuyển kẹp gắp từ (20, 0) đến (25, 15) để nhặt cây bút.

Cách tiếp cận: Áp dụng tuần tự hai phép biến đổi

Bước 4.1: Tịnh tiến trước
Đầu tiên, chúng ta di chuyển toàn bộ robot (không xoay) từ gốc (0, 0) đến vị trí mới (10, 5):

• Vector tịnh tiến: D = (10, 5)
• Vị trí mới của kẹp gắp: P₁ = P₀ + D = (20, 0) + (10, 5) = (30, 5)

Bước 4.2: Quay sau đó
Tiếp theo, chúng ta xoay cánh tay robot một góc θ = 30° ngược chiều kim đồng hồ quanh tâm đế mới:

Ma trận quay cho góc 30°:
$$R(30°) = \begin{bmatrix} \cos(30°) & -\sin(30°) \ \sin(30°) & \cos(30°) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.866 & -0.5 \ 0.5 & 0.866 \end{bmatrix}$$

Áp dụng phép quay cho vector từ đế mới đến kẹp gắp:

• Vector ban đầu (từ đế mới đến kẹp): v = P₁ - (10, 5) = (30, 5) - (10, 5) = (20, 0)

• Vector sau khi quay:
  $$v_{quay} = R(30°) \times v = \begin{bmatrix} 0.866 & -0.5 \ 0.5 & 0.866 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20 \ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17.32 \ 10 \end{bmatrix}$$

• Vị trí cuối cùng của kẹp gắp: P₂ = (10, 5) + (17.32, 10) = (27.32, 15)

Thứ tự quan trọng! ⚠️

Chú ý quan trọng: Thứ tự thực hiện các phép biến đổi rất quan trọng. Nếu chúng ta quay trước rồi tịnh tiến sau, kết quả sẽ hoàn toàn khác:

Thử nghiệm ngược lại:

1. Quay trước: P₁' = R(30°) × P₀ = (17.32, 10)
2. Tịnh tiến sau: P₂' = P₁' + D = (17.32, 10) + (10, 5) = (27.32, 15)

Trong trường hợp này, kết quả ngẫu nhiên giống nhau, nhưng điều này không phải lúc nào cũng đúng!

Ý nghĩa thực tế

Bằng cách kết hợp hai phép biến đổi cơ bản, chúng ta có thể mô tả hầu hết các chuyển động của robot trong không gian 2D. Tuy nhiên, việc phải tính toán từng bước một cách riêng lẻ rất phức tạp, đặc biệt khi robot có nhiều khớp.

Đây chính là lý do tại sao chúng ta cần Ma trận biến đổi đồng nhất ở Bước 5 - một công cụ toán học cho phép chúng ta thực hiện cả hai phép biến đổi trong một phép tính duy nhất! 🎯

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ đi vào Bước 5: Ma trận biến đổi đồng nhất - công cụ toán học "siêu mạnh" để giải quyết tất cả các vấn đề phức tạp mà chúng ta gặp phải ở bước 4.

---

Bước 5: Ma trận biến đổi đồng nhất (Homogeneous Transformation Matrix) 🎯

Vấn đề cần giải quyết

Ở Bước 4, chúng ta đã thấy việc kết hợp tịnh tiến và quay rất phức tạp:

• Phải thực hiện từng bước một cách riêng lẻ
• Thứ tự các phép biến đổi rất quan trọng
• Với robot nhiều khớp, số lượng tính toán tăng theo cấp số nhân

Ma trận biến đổi đồng nhất giải quyết tất cả những vấn đề này bằng cách gộp cả phép quay và tịnh tiến vào một ma trận duy nhất.

Cấu trúc của Ma trận biến đổi đồng nhất

Thay vì làm việc với tọa độ 2D (x, y), chúng ta mở rộng lên tọa độ đồng nhất 3D (x, y, 1). Ma trận biến đổi có dạng:

$$T = \begin{bmatrix} R & D \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & d_x \ \sin\theta & \cos\theta & d_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Trong đó:

• R: Ma trận quay 2×2 (như đã học ở bước 3)
• D: Vector tịnh tiến (dx, dy)
• Hàng cuối [0 0 1]: Giữ cho ma trận có tính chất toán học đặc biệt

Ví dụ thực tế: Áp dụng cho robot nhặt cây bút

Quay lại ví dụ ở Bước 4, nhưng lần này chúng ta sẽ giải quyết bằng một phép tính duy nhất.

Dữ liệu:

• Tịnh tiến: D = (10, 5)
• Quay: θ = 30°
• Vị trí ban đầu của kẹp gắp: P₀ = (20, 0)

Xây dựng ma trận biến đổi đồng nhất:

$$T = \begin{bmatrix} \cos(30°) & -\sin(30°) & 10 \ \sin(30°) & \cos(30°) & 5 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.866 & -0.5 & 10 \ 0.5 & 0.866 & 5 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Tính vị trí cuối cùng bằng một phép nhân ma trận:

Chuyển vị trí ban đầu sang tọa độ đồng nhất: P₀ = (20, 0, 1)

$$P_{cuối} = T \times P₀ = \begin{bmatrix} 0.866 & -0.5 & 10 \ 0.5 & 0.866 & 5 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} (0.866 \times 20) + (-0.5 \times 0) + (10 \times 1) \ (0.5 \times 20) + (0.866 \times 0) + (5 \times 1) \ (0 \times 20) + (0 \times 0) + (1 \times 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27.32 \ 15 \ 1 \end{bmatrix}$$

Kết quả: Vị trí cuối cùng của kẹp gắp là (27.32, 15) - giống hệt kết quả ở Bước 4 nhưng chỉ cần một phép tính!

Ưu điểm vượt trội của Ma trận biến đổi đồng nhất

1. Kết hợp nhiều chuyển động bằng phép nhân ma trận

Giả sử robot cần thực hiện 3 chuyển động liên tiếp:

• Chuyển động 1: Ma trận T₁
• Chuyển động 2: Ma trận T₂
• Chuyển động 3: Ma trận T₃

Ma trận tổng hợp: T_tổng = T₃ × T₂ × T₁ (chú ý thứ tự từ phải sang trái)

2. Ứng dụng cho robot nhiều khớp

Với robot có n khớp, mỗi khớp có ma trận biến đổi Tᵢ:

$$T_{tổng} = T_1 \times T_2 \times T_3 \times ... \times T_n$$

Một phép nhân ma trận duy nhất cho ra vị trí cuối cùng của bộ tác động cuối!

3. Ví dụ robot 3 khớp

Giả sử robot có 3 khớp với các góc quay:

• Khớp 1: quay 45°, không tịnh tiến
• Khớp 2: quay 30°, tịnh tiến (10, 0)
• Khớp 3: quay -15°, tịnh tiến (15, 0)

T₁ = [cos45°  -sin45°   0 ]     T₂ = [cos30°  -sin30°  10]     T₃ = [cos(-15°) -sin(-15°) 15]
     [sin45°   cos45°   0 ]          [sin30°   cos30°   0]           [sin(-15°)  cos(-15°)  0]
     [  0        0      1 ]          [  0        0       1]           [    0         0       1]

Vị trí cuối cùng: P_cuối = T₃ × T₂ × T₁ × P₀

Tại sao gọi là "Đồng nhất"?

Từ "đồng nhất" (homogeneous) xuất phát từ việc chúng ta thêm tọa độ thứ 3 có giá trị 1 vào mọi điểm. Điều này tạo ra một không gian toán học đặc biệt nơi cả phép quay và tịnh tiến đều có thể được biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận.

Kết luận Bước 5

Ma trận biến đổi đồng nhất là "chìa khóa vàng" trong robotics vì:

• Đơn giản hóa: Gộp mọi phép biến đổi thành một ma trận
• Hiệu quả: Một phép nhân ma trận thay vì nhiều bước tính toán
• Mở rộng: Dễ dàng áp dụng cho robot phức tạp với nhiều khớp
• Trực quan: Mỗi ma trận chứa đầy đủ thông tin về vị trí và hướng

Với 5 bước này, bạn đã nắm vững nền tảng lý thuyết về biến đổi tọa độ trong robotics! 🎉